Математический анализ Примеры

$(x + 1) (y + 1) d y - x y^{2} d x = 0$

Этап 1

Добавим $x y^{2} d x$ к обеим частям уравнения.

$(x + 1) (y + 1) d y = x y^{2} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (y^{2})} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x + 1) y^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} (y + 1) d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $(x + 1) y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (x y^{2}) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y^{2} (x + 1)} (y^{2} x) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{2}} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y + 1}{y^{2}} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $(y + 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $y$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Умножим $y$ на $y^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{1 - 2} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.3.1.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\int y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.3.2

Умножим $y^{- 2}$ на $1$ .

$\int y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.5

Интеграл $y^{- 1}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y^{- 2} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.6

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - y^{- 1} + C_{2} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.7

Упростим.

$\ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.2.8

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $x$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 4.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 4.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Этап 4.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Этап 4.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Этап 4.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.3.5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5})$

Этап 4.3.7

Упростим.

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| u |) + C_{6}$

Этап 4.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{y} + \ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$