Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{2} y + 5 x^{2} + 6 y + 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d y}{d x} = (10 x^{2} y + 5 x^{2}) + 6 y + 3$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{2} (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)$

Этап 1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (2 y + 1) (5 x^{2} + 3)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (5 x^{2} + 3))$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 y + 1} \frac{d y}{d x} = 5 x^{2} + 3$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 y + 1} d y = (5 x^{2} + 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 y + 1} d y = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 y + 1$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 y + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} + 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \int 5 x^{2} d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 \int x^{2} d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C_{4}$

Этап 2.3.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) + C_{1} = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |) = \frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |)) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 1 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 2 y + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 1 |)}{2} = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{5}{3} x^{3} + 3 x + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{3}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 (\frac{5 x^{3}}{3} + 3 x + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 2 y + 1 |) = 2 \frac{5 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $2 \frac{5 x^{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Объединим $2$ и $\frac{5 x^{3}}{3}$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{2 (5 x^{3})}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 2 (3 x) + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 y + 1 |)} = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 2 y + 1 |) = \frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} = | 2 y + 1 |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 1 | = e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 y + 1 = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $2 y = \pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x + 2 C} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.2.1

Чтобы записать $6 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + 6 x \cdot \frac{3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.2

Объединим $6 x$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3}}{3} + \frac{6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{\frac{10 x^{3} + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.2.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x^{3} + 6 x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.2.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x^{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 6 x \cdot 3}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x \cdot 3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (5 x^{2}) + 2 x (3 \cdot 3)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 3 \cdot 3)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.5

Чтобы записать $2 C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + 2 C \cdot \frac{3}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.6

Объединим $2 C$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9)}{3} + \frac{2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.2.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (5 x^{2} + 9) + 2 C \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.2.8.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (5 x^{2} + 9)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 C \cdot 3}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 C \cdot 3$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x (5 x^{2} + 9)) + 2 (C \cdot 3)$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2} + 9) + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (x (5 x^{2}) + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + x \cdot 9 + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.4

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x \cdot x^{2} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.2.8.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.2.8.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 (x^{2} x^{1}) + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{2 + 1} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 \cdot x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C \cdot 3)}{3}} - 1}{2}$

Этап 3.5.4.3.2.8.6

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + 3 C)}{3}} - 1}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{\frac{2 (5 x^{3} + 9 x + C)}{3}} - 1}{2}$