Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt[5]{t}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = k \sqrt[5]{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int k \sqrt[5]{t} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int k \sqrt[5]{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $k$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $k$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = k \int \sqrt[5]{t} d t$

Этап 2.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{5}}$ .

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{5}} d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{5}}$ по $t$ имеет вид $\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}}$ .

$y + C_{1} = k (\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $k (\frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2})$ в виде $k \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = k \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $k$ и $\frac{5}{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 5}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Перенесем $5$ влево от $k$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot k}{6} t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.3

Объединим $\frac{5 k}{6}$ и $t^{\frac{6}{5}}$ .

$y + C_{1} = \frac{5 k t^{\frac{6}{5}}}{6} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{5}{6} k t^{\frac{6}{5}} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} k + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{5}{6} t^{\frac{6}{5}} k + K$