Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y x (x + 4)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x (x + 4))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y x (x + 4)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 4)))$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 4)))$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (x + 4)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 4$

Этап 1.2.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 4$

Этап 1.2.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} + 4 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} + 4 x d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} + 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$| y | = e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$ в виде $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{2 x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$