Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4

Возьмем производную $v^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Этап 4.5

Упростим.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Умножим $v^{\frac{1}{2}}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.6.2.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.14

Перенесем $v^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.15

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Этап 4.16

Объединим $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ и $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Этап 4.17

Перепишем $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ в виде произведения.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Этап 4.18

Умножим $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Этап 4.19

Возведем $v$ в степень $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.21

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 4.23

Добавим $2$ и $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Подставим $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- \frac{1}{2}}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} - y = y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} = 0$

Этап 6.1.1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} = 0$

Этап 6.1.1.1.2.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- 3 (\frac{1}{2})} = 0$

Этап 6.1.1.1.2.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{\frac{- 3}{2}} = 0$

Этап 6.1.1.1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - v^{- \frac{3}{2}} = 0$

Этап 6.1.1.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 6.1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d v}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Добавим $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.1.2.2

Добавим $\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Этап 6.1.1.3.2.2

Разделим $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Этап 6.1.1.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} + \frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$

Этап 6.1.1.3.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.1.1.3.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.1.1.4

Умножим обе части на $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.1.1

Упростим $\frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.1.1.3

Сократим общий множитель $v^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{\frac{3}{2}}} v^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.2.1

Упростим $(- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}) (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $v^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $v^{\frac{1}{2}}$ из $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{\frac{1}{2}}} (v^{\frac{1}{2}} (2 v^{\frac{2}{2}})) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = - 1 (2 v^{\frac{2}{2}}) - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.4

Сократим общий множитель $v^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.2.1.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v^{\frac{3}{2}}}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.4.2

Вынесем множитель $v^{\frac{3}{2}}$ из $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} + \frac{- 1}{v^{\frac{3}{2}}} (v^{\frac{3}{2}} \cdot 2)$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 2$

Этап 6.1.1.5.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{\frac{2}{2}} - 2$

Этап 6.1.1.5.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.5.2.1.2.1

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v^{1} - 2$

Этап 6.1.1.5.2.1.2.2

Упростим.

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 2$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{- 2 v - 2}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 2} (- 2 v - 2)$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 v - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) - 2} (- 2 v - 2)$

Этап 6.1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v) + 2 (- 1)} (- 2 v - 2)$

Этап 6.1.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{2 (- v - 1)} (- 2 v - 2)$

Этап 6.1.3.2

Умножим $\frac{1}{2 (- v - 1)}$ на $- 2 v - 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 2}{2 (- v - 1)}$

Этап 6.1.3.3

Сократим общий множитель $- 2 v - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 v$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) - 2}{2 (- v - 1)}$

Этап 6.1.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v) + 2 \cdot - 1}{2 (- v - 1)}$

Этап 6.1.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- v) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Этап 6.1.3.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{2 (- v - 1)}{2 (- v - 1)}$

Этап 6.1.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Этап 6.1.3.4

Сократим общий множитель $- v - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = \frac{- v - 1}{- v - 1}$

Этап 6.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 2 v - 2} \frac{d v}{d x} = 1$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- 2 v - 2} d v = 1 d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- 2 v - 2} d v = \int d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u_{2} = - 2 v - 2$ . Тогда $d u_{2} = - 2 d v$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = d v$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u_{2} = - 2 v - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Дифференцируем $- 2 v - 2$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 2]$

Этап 6.2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $- 2 v - 2$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Этап 6.2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $v$ , производная $- 2 v$ по $v$ равна $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 2]$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Этап 6.2.2.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 2]$

Этап 6.2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $v$ , производная $- 2$ относительно $v$ равна $0$ .

$- 2 + 0$

Этап 6.2.2.1.1.4.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2} = \int d x$

Этап 6.2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2} = \int d x$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int d x$

Этап 6.2.2.2.3

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Этап 6.2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d x$

Этап 6.2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 6.2.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Этап 6.2.2.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2 v - 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = \int d x$

Этап 6.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |) = x + C$

Этап 6.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |)) = - 2 (x + C)$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 2 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Объединим $\ln (| - 2 v - 2 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| - 2 v - 2 |)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 2 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Этап 6.3.2.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Этап 6.3.2.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Этап 6.3.2.1.1.3.2

Умножим $\ln (| - 2 v - 2 |)$ на $1$ .

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 (x + C)$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$

Этап 6.3.3

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| - 2 v - 2 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 6.3.4

Перепишем $\ln (| - 2 v - 2 |) = - 2 x - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 2 |$

Этап 6.3.5

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 v - 2 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 6.3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 2 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Этап 6.3.5.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$

Этап 6.3.5.4

Разделим каждый член $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.1

Разделим каждый член $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 2$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Этап 6.3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Этап 6.3.5.4.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{2}{- 2}$

Этап 6.3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{2}{- 2}$

Этап 6.3.5.4.3.1.2

Разделим $2$ на $- 2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1$

Этап 6.3.5.4.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 6.3.5.4.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 6.3.5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 6.3.5.4.3.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 2}{2}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 2}{2}$

Этап 6.4.2

Перепишем $e^{- 2 x + C}$ в виде $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 2}{2}$

Этап 6.4.3

Изменим порядок $e^{- 2 x}$ и $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 2}{2}$

Этап 6.4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$

Этап 7

Подставим $y^{- 2}$ вместо $v$ .

$y^{- 2} = \frac{C e^{- 2 x} - 2}{2}$