Математический анализ Примеры

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x y = 2 y^{2} + 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x (y) = 2 y^{2} + 1$

Этап 1.2

Изменим порядок $x$ и $y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$

Этап 1.3

Разделим каждый член $y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$ на $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.4.2

Разделим $\frac{d x}{d y}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.6.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.7

Вынесем множитель $x$ из $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.8

Изменим порядок $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} x = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (y) d y}$ , где $P (y) = \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$e^{\ln (| y |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (y)}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$y$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + y (\frac{1}{y} x) = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $x$ .

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d x}{d y} + x = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 \cdot y + y \frac{1}{y^{2}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + \frac{1}{y}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d y} [y x] = 2 y + \frac{1}{y}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d y} [y x] d y = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$y x = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y x = \int 2 y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y x = 2 \int y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 7.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 7.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Этап 7.5.2

Упростим.

$y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ на $y$ .

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Этап 8.3.1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Этап 8.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Этап 8.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y}{1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Этап 8.3.1.2.5

Разделим $y$ на $1$ .

$x = y + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$