Математический анализ Примеры

$\frac{d N}{d t} = 400 + 600 \sqrt{t}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d N = (400 + 600 \sqrt{t}) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d N = \int 400 + 600 \sqrt{t} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$N + C_{1} = \int 400 + 600 \sqrt{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$N + C_{1} = \int 400 d t + \int 600 \sqrt{t} d t$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + \int 600 \sqrt{t} d t$

Этап 2.3.3

Поскольку $600$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $600$ из-под знака интеграла.

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 \int \sqrt{t} d t$

Этап 2.3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$N + C_{1} = 400 t + C_{2} + 600 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$N + C_{1} = 400 t + 600 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $600$ и $\frac{2}{3}$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{600 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Умножим $600$ на $2$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{1200}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Сократим общий множитель $1200$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $1200$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3 (1)} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$N + C_{1} = 400 t + \frac{3 \cdot 400}{3 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$N + C_{1} = 400 t + \frac{400}{1} t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2.4

Разделим $400$ на $1$ .

$N + C_{1} = 400 t + 400 t^{\frac{3}{2}} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$N = 400 t + 400 t^{\frac{3}{2}} + K$