Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{3 (2 + y)}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2 + y$ из $3 (2 + y)$ .

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 + y} \cdot \frac{(2 + y) \cdot 3}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 + y} d y = \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 + y} d y = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 + y$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 2 + y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 + y$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \int \frac{3}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{{(3 - x)}^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = 3 - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = 3 - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $- 3 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ в виде $- 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = - 3 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = 3 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 - x$ .

$\ln (| 2 + y |) + C_{1} = \frac{3}{3 - x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 + y |)} = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| 2 + y |) = \frac{3}{3 - x} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{3 - x} + C} = | 2 + y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + C}$

Этап 3.3.2

Упростим $e^{\frac{3}{3 - x} + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3}{3 - x} + \frac{C (3 - x)}{3 - x}}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C (3 - x)}{3 - x}}$

Этап 3.3.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + C \cdot 3 + C (- x)}{3 - x}}$

Этап 3.3.2.3.2

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 \cdot C + C (- x)}{3 - x}}$

Этап 3.3.2.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| 2 + y | = e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 + y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}}$

Этап 3.3.4

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}} - 2$

Этап 3.3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Разобьем дробь $\frac{3 + 3 C - C x}{3 - x}$ на две дроби.

$y = \pm e^{\frac{3 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Этап 3.3.4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 + 3 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y = \pm e^{\frac{3 \cdot 1 + 3 C}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Этап 3.3.4.2.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1 + 3 C$ .

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} + \frac{- C x}{3 - x}} - 2$

Этап 3.3.4.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \pm e^{\frac{3 (1 + C)}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm e^{\frac{C}{3 - x} - \frac{C x}{3 - x}} - 2$