Математический анализ Примеры

$d x - 4 x y^{3} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $d x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x y^{3} d y = - d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- 4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 \frac{1}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 4}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y^{3}$ .

$\frac{- 4}{x} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4}{x} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$- 4 y^{3} d y = \frac{1}{x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{x}$ и $- 1$ .

$- 4 y^{3} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 4 y^{3} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - 4 y^{3} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int y^{3} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $- 4 (\frac{1}{4} y^{4} + C_{1})$ в виде $- 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1}$ .

$- 4 (\frac{1}{4}) y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 4}{4} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- y^{4} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y^{4} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- y^{4} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$- y^{4} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- y^{4} = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- y^{4} = - \ln (| x |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $- y^{4} = - \ln (| x |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{4}}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{4}}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.2.2

Разделим $y^{4}$ на $1$ .

$y^{4} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{4} = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.3.1.2

Разделим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$y^{4} = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$y^{4} = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Этап 5.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$y^{4} = \ln (| x |) - C$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Этап 5.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Этап 5.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) - C}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[4]{\ln (| x |) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (| x |) + C}$