Математический анализ Примеры

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + (2 m x^{2} y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x^{4} e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{4} e^{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 m x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2 m x$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 m x y^{2}$ по $y$ равна $- 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 m x (2 y)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 m x y$

Этап 1.4

Вычтем $4 m x y$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 m x y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 m x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 m x^{2} y]$

Этап 2.2

Поскольку $2 m y$ является константой относительно $x$ , производная $2 m x^{2} y$ по $x$ равна $2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 m y (2 x)$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m y x$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $4 m y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 m x y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 4 m x y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $4 m x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 m x y = 4 m x y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 4 m x y = 4 m x y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 4 m x y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 m x y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $4 m x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $2 m x^{2} y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 m x^{2} y$ вместо $N$ .

$\frac{- 4 m x y - (4 m x y)}{2 m x^{2} y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $m x y$ из $- 4 m x y - 1 \cdot 4 m x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $m x y$ из $- 4 m x y$ .

$\frac{m x y (- 4) - 1 \cdot 4 m x y}{2 m x^{2} y}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $m x y$ из $- 1 \cdot 4 m x y$ .

$\frac{m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $m x y$ из $m x y (- 4) + m x y (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{m x y (- 4 - 1 \cdot 4)}{2 m x^{2} y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{m x y (- 4 - 4)}{2 m x^{2} y}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m x y \cdot - 8}{2 m x^{2} y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y \cdot - 8}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x y \cdot - 8$ .

$\frac{x (y \cdot - 8)}{2 x^{2} y}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2} y$ .

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

Этап 4.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (y \cdot - 8)}{x (2 x y)}$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot - 8}{2 x y}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 8}{2 x}$

Этап 4.3.6

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Этап 4.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (x)}$

Этап 4.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 x}$

Этап 4.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{x}$

Этап 4.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 4 \ln (| x |)$ путем переноса $- 4$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) d x + 2 m x^{2} y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} e^{x} - 2 m x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} e^{x}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x}) - 2 m x y^{2}}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 m x y^{2}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} e^{x}) + x (- 2 m y^{2})$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{4}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x \cdot x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $2 m x^{2} y$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m x^{2} y \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 m x^{2} y$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.6.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

Этап 6.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + x^{2} (2 m y) \frac{1}{x^{2} x^{2}} d y = 0$

Этап 6.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + 2 m y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + m y \frac{2}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.8

Объединим $m$ и $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + y \frac{m \cdot 2}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.9

Объединим $y$ и $\frac{m \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{y (m \cdot 2)}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.10

Перенесем $2$ влево от $y m$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} d x + \frac{2 y m}{x^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y m}{x^{2}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{2 y m}{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{2 m}{x^{2}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{2 m}{x^{2}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $\frac{2 m}{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $\frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{2 m}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{x^{2} \cdot 2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 \cdot x^{2}} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Умножим $2$ на $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2 m}{2 x^{2}} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{m}{x^{2}} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.5

Объединим $\frac{m}{x^{2}}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{m y^{2}}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $m y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{m y^{2}}{x^{2}}$ по $x$ равна $m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$m y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$m y^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$m y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$m y^{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$m y^{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m y^{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$m y^{2} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$m y^{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$m y^{2} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$m y^{2} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$m y^{2} (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$m y^{2} \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$m y^{2} (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.5.2.3

Объединим $m$ и $\frac{2}{x^{3}}$ .

$y^{2} (- \frac{m \cdot 2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.5.2.4

Объединим $y^{2}$ и $\frac{m \cdot 2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y^{2} (m \cdot 2)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.5.2.5

Перенесем $2$ влево от $m$ .

$- \frac{y^{2} (2 \cdot m)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.5.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} = \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y^{2} m}{x^{3}} - \frac{x^{3} e^{x} - 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x} - 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - (x^{3} e^{x}) - (- 2 m y^{2})}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 m y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Изменим порядок множителей в членах $- 2 y^{2} m$ и $2 m y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y^{2} m - x^{3} e^{x} + 2 y^{2} m}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- 2 y^{2} m$ и $2 y^{2} m$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x} + 0}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.4.3

Добавим $- x^{3} e^{x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3} e^{x}}{x^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.1.2

Разделим $- 1 e^{x}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 e^{x} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} - e^{x} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $e^{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Этап 13

Найдем первообразную $e^{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Этап 13.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{m y^{2}}{x^{2}} + e^{x} + C$