Математический анализ Примеры

$\frac{d F}{d x} = - 5 e^{x} - 5 x$ , $F (0) = - 6$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d F = (- 5 e^{x} - 5 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d F = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} - 5 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$F + C_{1} = \int - 5 e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$F + C_{1} = - 5 \int e^{x} d x + \int - 5 x d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 \int x d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 (e^{x} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = - 5 e^{x} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$F + C_{1} = - 5 e^{x} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$F + C_{1} = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $- 6$ вместо $F$ в $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ .

$- 6 = - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K = - 6$

Этап 4.2

Упростим $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} - 5 e^{0} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- \frac{5}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{5}{2}) - 5 e^{0} + K = - 6$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{5}{2}$ .

$0 - 5 e^{0} + K = - 6$

Этап 4.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + K = - 6$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5 + K = - 6$

Этап 4.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5 + K = - 6$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$K = - 6 + 5$

Этап 4.3.2

Добавим $- 6$ и $5$ .

$K = - 1$

Этап 5

Подставим $- 1$ вместо $K$ в $F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 1$ вместо $K$ .

$F = - \frac{5}{2} x^{2} - 5 e^{x} - 1$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{5}{2}$ .

$F = - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} - 5 e^{x} - 1$

Этап 5.2.2

Перенесем $5$ влево от $x^{2}$ .

$F = - \frac{5 x^{2}}{2} - 5 e^{x} - 1$