Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (y - 1) (1 - 2 x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y - 1} d y = (1 - 2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y - 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - 2 x d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - x^{2} + x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- x^{2} + x + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x + C} = | y - 1 |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$ .

$| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{- x^{2} + x + C}$

Этап 3.3.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \pm e^{- x^{2} + x + C} + 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{- x^{2} + x + C}$ в виде $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} + x} e^{C} + 1$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{- x^{2} + x}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} + x} + 1$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{- x^{2} + x} + 1$