Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Этап 1.2.2

Перепишем $x^{3}$ в виде ${(x^{3})}^{1}$ .

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

Этап 1.2.3

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Тогда $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Пусть $u_{1} = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $\frac{1}{1 + u_{1}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

Этап 1.2.4.3

Перенесем $3$ влево от $1 + u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

Этап 1.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Этап 1.2.6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Этап 1.2.6.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Этап 1.2.6.3

Умножим $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ на $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Этап 1.2.7

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Пусть $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Дифференцируем $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Этап 1.2.7.1.2

По правилу суммы производная $1 + u_{1}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 1.2.7.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 1.2.7.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 1.2.7.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 1.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

Этап 1.2.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

Этап 1.2.9

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + u_{1}$ .

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

Этап 1.2.9.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

Этап 1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$1 + x^{3}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $1 + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $1 + x^{3}$ .

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.3.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ и $y$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.5

Умножим $1 + x^{3}$ на $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.6.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.6.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.7

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.8

Сократим общий множитель $1 - x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.2.8.2

Разделим $3 x^{2} y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

Этап 2.3.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Этап 2.3.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 2.4

Умножим $1 + x^{3}$ на $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 2.5.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $1 - x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Этап 2.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

Этап 7

Разделим каждый член $(1 + x^{3}) y = x + C$ на $1 + x^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $(1 + x^{3}) y = x + C$ на $1 + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $1 + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Этап 7.3.1.1.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Этап 7.3.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Этап 7.3.1.1.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Этап 7.3.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

Этап 7.3.1.2.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Этап 7.3.1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Этап 7.3.1.2.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$