Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 2 x$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 3 d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{3 x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{3 x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (2 x)$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (2 x)$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 2 e^{3 x} x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 2 x e^{3 x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 2 x e^{3 x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 2 x e^{3 x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{3 x} y = \int 2 x e^{3 x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 2 \int x e^{3 x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Этап 6.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x)$

Этап 6.3.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{e^{3 x}}{3} d x)$

Этап 6.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x))$

Этап 6.5

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 6.5.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 6.5.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 6.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Этап 6.6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Этап 6.7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Этап 6.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u)$

Этап 6.8.2

Умножим $3$ на $3$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u)$

Этап 6.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$

Этап 6.10

Перепишем $2 (\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C))$ в виде $2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u}) + C$

Этап 6.11

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x}) + C$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $e^{3 x}$ и $\frac{1}{9}$ .

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Этап 7.1.2

Избавимся от скобок.

$e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$

Этап 7.2

Разделим каждый член $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ на $e^{3 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $e^{3 x} y = 2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9}) + C$ на $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 (\frac{1}{3} \cdot (x e^{3 x}) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{3 x}$ из $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x} - \frac{e^{3 x}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $e^{3 x}$ из $\frac{1}{3} \cdot x e^{3 x}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) - \frac{e^{3 x}}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $e^{3 x}$ из $- \frac{e^{3 x}}{9}$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $e^{3 x}$ из $e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x) + e^{3 x} (- \frac{1}{9})$ .

$y = \frac{2 (e^{3 x} (\frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{9}))}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.3

Чтобы записать $\frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.4.1

Умножим $\frac{x}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} (\frac{x \cdot 3}{9} - \frac{1}{9})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{x \cdot 3 - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.6

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = \frac{2 e^{3 x} \frac{3 x - 1}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.7.1

Объединим $\frac{3 x - 1}{9}$ и $2$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.7.2

Объединим $\frac{(3 x - 1) \cdot 2}{9}$ и $e^{3 x}$ .

$y = \frac{\frac{(3 x - 1) \cdot 2 e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.1.8

Перенесем $2$ влево от $3 x - 1$ .

$y = \frac{\frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9} \cdot \frac{1}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.3

Объединим.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.4

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} \cdot 1}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 (3 x - 1) \cdot 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.2

Чтобы записать $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.3

Чтобы записать $\frac{C}{e^{3 x}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1)}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 7.2.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9 e^{3 x}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.4.1

Умножим $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ на $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 7.2.3.4.2

Умножим $\frac{C}{e^{3 x}}$ на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Этап 7.2.3.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 (3 x - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \frac{(6 x + 2 \cdot - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{(6 x - 2) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Этап 7.2.3.6.5

Перенесем $9$ влево от $C$ .

$y = \frac{6 x e^{3 x} - 2 e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$