Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{6} e^{x^{7}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x^{6} e^{x^{7}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{6} e^{x^{7}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{6} e^{x^{7}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{7}}$ . Тогда $d u_{2} = 7 x^{6} e^{x^{7}} d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u_{2} = x^{6} e^{x^{7}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{7}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $e^{x^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{7}}]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2.3.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{7}$ .

$e^{x^{7}} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$e^{x^{7}} (7 x^{6})$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{7}} (7 x^{6})$ .

$7 e^{x^{7}} x^{6}$

Этап 2.3.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $7 e^{x^{7}} x^{6}$ .

$7 x^{6} e^{x^{7}}$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{7} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{7} u_{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x^{7}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{7} e^{x^{7}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{7} e^{x^{7}} + K$