Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.4.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.6

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Этап 2.3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Этап 2.3.8

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Этап 4.2

Упростим $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Этап 4.2.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Этап 4.2.1.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Этап 4.2.1.5

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Этап 4.2.1.6

Умножим $8$ на $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Этап 4.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 1 - 3$ и $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Этап 4.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$C = 4$

Этап 5

Подставим $4$ вместо $C$ в $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $4$ вместо $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $8 \ln (| x |)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Этап 5.2.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{8}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$