Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = x^{2} - 1$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $\frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 1.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{4 \ln (x)}$

Этап 1.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{4})}$

Этап 1.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{4}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{4}{x}$ и $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Этап 2.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Этап 2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4 + 2} + x^{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2

Добавим $4$ и $2$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} + x^{4} \cdot - 1$

Этап 2.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} - 1 \cdot x^{4}$

Этап 2.3.3

Перепишем $- 1 x^{4}$ в виде $- x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} - x^{4}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = x^{6} - x^{4}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int x^{6} - x^{4} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$x^{4} y = \int x^{6} - x^{4} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x^{4} y = \int x^{6} d x + \int - x^{4} d x$

Этап 6.2

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C + \int - x^{4} d x$

Этап 6.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{4} d x$

Этап 6.4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Этап 6.5

Упростим.

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$ на $x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$ на $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{7}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Разделим $\frac{1}{7} x^{3}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{7} x^{3} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- \frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{- \frac{1}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.3.2.4

Разделим $- \frac{1}{5} x$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{1}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Этап 7.3.1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$