Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 2 x^{2} - 1$ . Тогда $d u = 4 x d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 2 x^{2} - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $4 x$ и $0$ .

$4 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{2} - 1$ .

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $5$ вместо $x$ и $4$ вместо $y$ в $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ .

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $25$ .

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $50$ .

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Этап 4.2.3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Этап 4.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$7^{1} + K = 4$

Этап 4.2.6

Найдем экспоненту.

$7 + K = 4$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$K = 4 - 7$

Этап 4.3.2

Вычтем $7$ из $4$ .

$K = - 3$

Этап 5

Подставим $- 3$ вместо $K$ в $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 3$ вместо $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$