Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Тогда $d u_{1} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\frac{e^{u_{1}}}{4}$ и $\cos (e^{u_{1}})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Этап 2.3.4

Пусть $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Тогда $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Пусть $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Дифференцируем $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Этап 2.3.4.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Этап 2.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.5

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ .

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

Этап 4.2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

Этап 4.2.1.3

Найдем значение $\sin (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

Этап 4.2.1.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $0.0174524$ .

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

Этап 4.2.1.5

Разделим $0.0174524$ на $4$ .

$0.0043631 + K = 0$

Этап 4.3

Вычтем $0.0043631$ из обеих частей уравнения.

$K = - 0.0043631$

Этап 5

Подставим $- 0.0043631$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 0.0043631$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sin (e^{4 x})$ .

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$