Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

Этап 1.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\ln (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Изменим порядок множителей в $\ln (V) V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

Этап 6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

Этап 6.1.2.2

Вынесем множитель $V$ из $V \ln (V) - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Вынесем множитель $V$ из $V \ln (V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

Этап 6.1.2.2.2

Вынесем множитель $V$ из $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

Этап 6.1.2.2.3

Вынесем множитель $V$ из $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $V (\ln (V) - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u_{1} = \ln (V)$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ , следовательно $V d u_{1} = d V$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u_{1} = \ln (V)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Дифференцируем $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Этап 6.2.2.1.1.2

Производная $\ln (V)$ по $V$ равна $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Пусть $u_{2} = u_{1} - 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Пусть $u_{2} = u_{1} - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Дифференцируем $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Этап 6.2.2.2.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} - 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Этап 6.2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Этап 6.2.2.2.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- 1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

Этап 6.3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

Этап 6.3.3

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

Этап 6.3.4

Перепишем $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

Этап 6.3.5

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

Этап 6.3.5.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

Этап 6.3.5.4

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

Этап 6.3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

Этап 6.3.5.4.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

Этап 6.3.5.4.4

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.5

Перепишем $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

Этап 6.3.5.4.6

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.4.6.1

Перепишем уравнение в виде $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Этап 6.3.5.4.6.2

Изменим порядок множителей в $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

Этап 6.4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$V = e^{C | x | + 1}$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = e^{C | x | + 1} x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C | x | + 1} x$ .

$y = x e^{C | x | + 1}$