Математический анализ Примеры

$x y^{2} d y + (x^{2} + 1) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $(x^{2} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$x y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Этап 4.3.6

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Умножим $3 (- \frac{x^{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Этап 5.2.2.1.3.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Этап 5.2.2.1.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Этап 5.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Этап 5.3

Упростим $- 3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Этап 5.5

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы записать $- \ln ({| x |}^{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

Этап 5.5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Объединим $- \ln ({| x |}^{3})$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Этап 5.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Этап 5.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Умножим $- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 2 \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

Этап 5.5.3.1.2

Упростим $- 2 \ln ({| x |}^{3})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

Этап 5.5.3.2

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

Этап 5.5.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

Этап 5.5.3.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{6}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

Этап 5.5.4

Чтобы записать $3 C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 5.5.5

Объединим $3 C$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

Этап 5.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

Этап 5.5.7

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

Этап 5.5.8

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

Этап 5.5.9

Умножим $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 5.5.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.10.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 5.5.10.2

Возведем $\sqrt[3]{2}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Этап 5.5.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Этап 5.5.10.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Этап 5.5.10.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.10.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.5.10.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.5.10.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.10.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.10.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.10.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Этап 5.5.10.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Этап 5.5.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.11.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Этап 5.5.11.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

Этап 5.5.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.12.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

Этап 5.5.12.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + C)}}{2}$