Математический анализ Примеры

$d x - (2 + x) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $d x$ из обеих частей уравнения.

$- (2 + x) d y = - d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{2 + x} (- (2 + x)) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 + x}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 + x} (2 + x) d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 d y = \frac{1}{2 + x} \cdot - 1 d x$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2 + x}$ и $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{2 + x} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 1 d y = - \frac{1}{2 + x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{2 + x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{2 + x} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u = 2 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u = 2 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $2 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- y + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$- y + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $2 + x$ .

$- y + C_{1} = - \ln (| 2 + x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- y = - \ln (| 2 + x |) + C$

Этап 5

Разделим каждый член $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- y = - \ln (| 2 + x |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \ln (| 2 + x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{\ln (| 2 + x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.2

Разделим $\ln (| 2 + x |)$ на $1$ .

$y = \ln (| 2 + x |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - 1 \cdot C$

Этап 5.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$y = \ln (| 2 + x |) - C$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \ln (| 2 + x |) + C$