Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d t} = y (f - c)$

Этап 1

Пусть $v = f - c$ . Подставим $v$ вместо $f - c$ для всех.

$\frac{d f}{d t} = y v$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d t}$ , дифференцируя $f - c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $f - c$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d t} [f] + \frac{d}{d t} [- c]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d t} [f]$ в виде $f'$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + \frac{d}{d t} [- c]$

Этап 2.3

Поскольку $- c$ является константой относительно $t$ , производная $- c$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f' + 0$

Этап 2.4

Добавим $f'$ и $0$ .

$\frac{d v}{d t} = f'$

Этап 3

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

$\frac{d v}{d t} = y v$

Этап 4

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим обе части на $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (y v)$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $v$ из $y v$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (v y)$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = y$

Этап 4.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v} d v = y d t$

Этап 5

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v} d v = \int y d t$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int y d t$

Этап 5.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| v |) + C_{1} = y t + C_{2}$

Этап 5.3.2

Изменим порядок членов.

$\ln (| v |) + C_{1} = t y + C_{2}$

Этап 5.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| v |) = t y + C$

Этап 6

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| v |)} = e^{t y + C}$

Этап 6.2

Перепишем $\ln (| v |) = t y + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{t y + C} = | v |$

Этап 6.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем уравнение в виде $| v | = e^{t y + C}$ .

$| v | = e^{t y + C}$

Этап 6.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{t y + C}$

Этап 7

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $e^{t y + C}$ в виде $e^{t y} e^{C}$ .

$v = \pm e^{t y} e^{C}$

Этап 7.2

Изменим порядок $e^{t y}$ и $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{t y}$

Этап 7.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C e^{t y}$

Этап 8

Заменим все вхождения $v$ на $f - c$ .

$f - c = C e^{t y}$

Этап 9

Добавим $c$ к обеим частям уравнения.

$f = C e^{t y} + c$