Математический анализ Примеры

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s v + s}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $s$ из $s v + s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $s$ из $s v$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s}$

Этап 1.1.2

Возведем $s$ в степень $1$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s^{1}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $s$ из $s^{1}$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v) + s \cdot 1}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $s$ из $s (v) + s \cdot 1$ .

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $v + 1$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) (\frac{s + 1}{s} \cdot \frac{1}{v + 1})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{s + 1}{s}$ на $\frac{1}{v + 1}$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{s (v + 1)}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $v + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $v + 1$ из $s (v + 1)$ .

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = (v + 1) \frac{s + 1}{(v + 1) s}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$(v + 1) \frac{d v}{d s} = \frac{s + 1}{s}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$(v + 1) d v = \frac{s + 1}{s} d s$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int v + 1 d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int v d v + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $v$ по $v$ имеет вид $\frac{1}{2} v^{2}$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + \int d v = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} v^{2} + C_{1} + v + C_{2} = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s + 1}{s} d s$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} + \frac{1}{s} d s$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} d s + \int \frac{1}{s} d s$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int \frac{s}{s} d s + \int \frac{1}{s} d s$

Этап 2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = \int d s + \int \frac{1}{s} d s$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + C_{4} + \int \frac{1}{s} d s$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{s}$ по $s$ имеет вид $\ln (| s |)$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + C_{4} + \ln (| s |) + C_{5}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} v^{2} + v + C_{3} = s + \ln (| s |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} v^{2} + v = s + \ln (| s |) + C$