Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

Этап 1.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{2 e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{2 e^{x} + C}$ в виде $e^{2 e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{2 e^{x}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{2 e^{x}}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $4$ вместо $y$ в $y = C e^{2 e^{x}}$ .

$4 = C e^{2 e^{0}}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C e^{2 e^{0}} = 4$ .

$C e^{2 e^{0}} = 4$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$C e^{2} = 4$

Этап 6.3

Разделим каждый член $C e^{2} = 4$ на $e^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $C e^{2} = 4$ на $e^{2}$ .

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $e^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{4}{e^{2}}$

Этап 7

Подставим $\frac{4}{e^{2}}$ вместо $C$ в $y = C e^{2 e^{x}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\frac{4}{e^{2}}$ вместо $C$ .

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

Этап 7.2

Объединим $\frac{4}{e^{2}}$ и $e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $e^{2 e^{x}}$ и $e^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $e^{2}$ из $4 e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

Этап 7.3.2.4

Разделим $4 e^{2 e^{x} - 2}$ на $1$ .

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$