Математический анализ Примеры

$25 \frac{d q}{d t} - \frac{d^{2} q}{d t^{2}} = 0$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d q}{d t}$ . Тогда $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d q}{d t}$ и $\frac{d v}{d t}$ вместо $\frac{d^{2} q}{d t^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $t$ .

$25 v - \frac{d v}{d t} = 0$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $\frac{d v}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $25 v$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{d v}{d t} = - 25 v$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $- \frac{d v}{d t} = - 25 v$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{d v}{d t}}{- 1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{1} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Разделим $\frac{d v}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{- 25 v}{- 1}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 25 v}{- 1}$ .

$\frac{d v}{d t} = - 1 \cdot (- 25 v)$

Этап 2.1.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (- 25 v)$ в виде $- (- 25 v)$ .

$\frac{d v}{d t} = - (- 25 v)$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим $- 25$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d t} = 25 v$

Этап 2.2

Умножим обе части на $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v} (25 v)$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25 \frac{1}{v} v$

Этап 2.3.2

Объединим $25$ и $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = \frac{25}{v} v$

Этап 2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d t} = 25$

Этап 2.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v} d v = 25 d t$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v} d v = \int 25 d t$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int 25 d t$

Этап 3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| v |) + C_{1} = 25 t + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$

Этап 4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| v |)} = e^{25 t + C_{3}}$

Этап 4.2

Перепишем $\ln (| v |) = 25 t + C_{3}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{25 t + C_{3}} = | v |$

Этап 4.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $| v | = e^{25 t + C_{3}}$ .

$| v | = e^{25 t + C_{3}}$

Этап 4.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{25 t + C_{3}}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $e^{25 t + C_{3}}$ в виде $e^{25 t} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{25 t} e^{C_{3}}$

Этап 5.2

Изменим порядок $e^{25 t}$ и $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{25 t}$

Этап 5.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C_{4} e^{25 t}$

Этап 6

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = C_{4} e^{25 t}$

Этап 7

Перепишем уравнение.

$d q = C_{4} e^{25 t} d t$

Этап 8

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d q = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$q + C_{5} = \int C_{4} e^{25 t} d t$

Этап 8.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $C_{4}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $C_{4}$ из-под знака интеграла.

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{25 t} d t$

Этап 8.3.2

Пусть $u = 25 t$ . Тогда $d u = 25 d t$ , следовательно $\frac{1}{25} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Пусть $u = 25 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Дифференцируем $25 t$ .

$\frac{d}{d t} [25 t]$

Этап 8.3.2.1.2

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25 t$ по $t$ равна $25 \frac{d}{d t} [t]$ .

$25 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 8.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$25 \cdot 1$

Этап 8.3.2.1.4

Умножим $25$ на $1$ .

$25$

Этап 8.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int e^{u} \frac{1}{25} d u$

Этап 8.3.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{25}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \int \frac{e^{u}}{25} d u$

Этап 8.3.4

Поскольку $\frac{1}{25}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{25}$ из-под знака интеграла.

$q + C_{5} = C_{4} (\frac{1}{25} \int e^{u} d u)$

Этап 8.3.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$q + C_{5} = C_{4} \frac{1}{25} (e^{u} + C_{6})$

Этап 8.3.6

Упростим.

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{u} + C_{7}$

Этап 8.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $25 t$ .

$q + C_{5} = \frac{C_{4}}{25} e^{25 t} + C_{7}$

Этап 8.3.8

Изменим порядок членов.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} C_{4} e^{25 t} + C_{7}$

Этап 8.3.9

Изменим порядок членов.

$q + C_{5} = \frac{1}{25} e^{25 t} C_{4} + C_{7}$

Этап 8.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$q = \frac{1}{25} e^{25 t} C + D$