Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 6 x d x$

Этап 1.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{d y}{d x} = 6 \int x d x$

Этап 1.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$

Этап 1.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ в виде $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$

Этап 1.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{1}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{1}$

Этап 1.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{1}$

Этап 1.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{1}$

Этап 1.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{1}$

Этап 1.4.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (3 x^{2} + C_{1}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} + C_{1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{2} = \int 3 x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{2} = 3 \int x^{2} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{2} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.5.2

Упростим.

$y + C_{2} = x^{3} + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = x^{3} + C x + D$