Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

Этап 1.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Этап 1.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

Этап 1.4

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.3.7

Упростим.

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

Этап 3.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$