Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 7}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 7}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 7}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + 7}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = x^{2} - 4 x + 7$ . Тогда $d u = (2 x - 4) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (x - 2) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x^{2} - 4 x + 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x^{2} - 4 x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 7]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 4 + 0$

Этап 2.3.1.1.4.2

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$2 x - 4$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.3

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x + 7$ .

$y + C_{1} = {(x^{2} - 4 x + 7)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = {(x^{2} - 4 x + 7)}^{\frac{1}{2}} + K$