Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d v} = - \frac{2 v}{u}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $u$ .

$u \frac{d u}{d v} = u (- \frac{2 v}{u})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$u \frac{d u}{d v} = - u \frac{2 v}{u}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u \frac{d u}{d v} = u \cdot - 1 \frac{2 v}{u}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$u \frac{d u}{d v} = u \cdot - 1 \frac{2 v}{u}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$u \frac{d u}{d v} = - (2 v)$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$u \frac{d u}{d v} = - 2 v$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$u d u = - 2 v d v$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int u d u = \int - 2 v d v$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int - 2 v d v$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 \int v d v$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $v$ по $v$ имеет вид $\frac{1}{2} v^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{- 2}{2} v^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} v^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} v^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} v^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{- 1}{1} v^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = - v^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = - v^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (- v^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} = 2 (- v^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- v^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{2} = 2 (- v^{2}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u^{2} = - 2 v^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \pm \sqrt{- 2 v^{2} + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 v^{2} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 v^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2}) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2}) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- v^{2}) + 2 K$ .

$u = \pm \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$

$u = - \sqrt{2 (- v^{2} + K)}$