Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (\frac{t}{3})))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \sin (\frac{t}{3})$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sin (\frac{t}{3}) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = \frac{t}{3}$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d t$ , следовательно $3 d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = \frac{t}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $\frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3}]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t}{3}$ по $t$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) (1 \cdot 3) d u$

Этап 2.3.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \cdot 3 d u$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $3$ влево от $\sin (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 3 \sin (u) d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \sin (u) d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u)) + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (u) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{t}{3}) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$