Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d t} = 4 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d r = (4 t + \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d r = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$r + C_{1} = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$r + C_{1} = \int 4 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = 4 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.4

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$r + C_{1} = 2 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $- π$ вместо $t$ и $3$ вместо $r$ в $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ .

$3 = 2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$ .

$2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- π$ .

$2 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Этап 4.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$2 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$2 π^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Этап 4.2.1.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$2 π^{2} - \tan (0) + K = 3$

Этап 4.2.1.1.5

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 π^{2} - 0 + K = 3$

Этап 4.2.1.1.6

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 π^{2} + 0 + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Добавим $2 π^{2}$ и $0$ .

$2 π^{2} + K = 3$

Этап 4.3

Вычтем $2 π^{2}$ из обеих частей уравнения.

$K = 3 - 2 π^{2}$

Этап 5

Подставим $3 - 2 π^{2}$ вместо $K$ в $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $3 - 2 π^{2}$ вместо $K$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + 3 - 2 π^{2}$