Математический анализ Примеры

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + (x^{2} y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y^{2}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2} y^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.4.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + \frac{d}{d y} [3]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $2 x y + 2 x^{2} y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2 x^{2} y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Этап 2.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x y + 2 x^{2} y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x y + 2 x^{2} y = 2 x y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x y + 2 x^{2} y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} y$ вместо $N$ .

$\frac{2 x y + 2 x^{2} y - (2 x y)}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $x y$ из $2 x y + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $x y$ из $2 x y$ .

$\frac{x y (2) + 2 x^{2} y - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $x y$ из $2 x^{2} y$ .

$\frac{x y (2) + x y (2 x) - 1 \cdot 2 x y}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $x y$ из $- 1 \cdot 2 x y$ .

$\frac{x y (2) + x y (2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.1.4

Вынесем множитель $x y$ из $x y (2) + x y (2 x)$ .

$\frac{x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.1.5

Вынесем множитель $x y$ из $x y (2 + 2 x) + x y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x y (2 + 2 x - 1 \cdot 2)}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x y (2 + 2 x - 2)}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.3

Объединим противоположные члены в $2 + 2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{x y (2 x + 0)}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.3.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x y (2 x)}{x^{2} y}$

$\frac{x y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x y \cdot 2}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 1} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Этап 4.3.2.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y \cdot 2}{x^{2} y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot 2}{y}$

Этап 4.3.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int 2 d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Этап 5.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) d x + x^{2} y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3$ на $e^{2 x}$ .

$(x y^{2} + x^{2} y^{2} + 3) e^{2 x} d x + x^{2} y d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} y$ на $e^{2 x}$ .

$(x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}) d x + x^{2} y e^{2 x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y e^{2 x} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{2} y e^{2 x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $x^{2} e^{2 x}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x^{2} e^{2 x}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $x^{2} e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.3

Объединим $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Этап 8.3.3

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.3

Объединим $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.4

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.6.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.3.11

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2}}{2} (x^{2} (2 e^{2 x})) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{2} (2 e^{2 x}) + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.3

Объединим $\frac{2 (x^{2} y^{2})}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (x^{2} y^{2}) e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.4.2

Разделим $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ на $1$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 x)) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.5

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.6

Объединим $2$ и $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.7

Объединим $\frac{2 (e^{2 x} y^{2})}{2}$ и $x$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 (e^{2 x} y^{2}) x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.8.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + \frac{2 e^{2 x} y^{2} x}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.2.8.2

Разделим $e^{2 x} y^{2} x$ на $1$ .

$x^{2} y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 11.5.4

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} x^{2} y^{2} + e^{2 x} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x e^{2 x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x}$

Этап 12.1.2

Вычтем $y^{2} x e^{2 x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $x y^{2} e^{2 x} + x^{2} y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - x^{2} y^{2} e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ из $x^{2} y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} + 0 - y^{2} x e^{2 x}$

Этап 12.1.3.2

Добавим $x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} e^{2 x} + 3 e^{2 x} - y^{2} x e^{2 x}$

Этап 12.1.3.3

Изменим порядок множителей в членах $x y^{2} e^{2 x}$ и $- y^{2} x e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} x + 3 e^{2 x} - e^{2 x} y^{2} x$

Этап 12.1.3.4

Вычтем $e^{2 x} y^{2} x$ из $e^{2 x} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x} + 0$

Этап 12.1.3.5

Добавим $3 e^{2 x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$

Этап 13

Найдем первообразную $3 e^{2 x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 3 e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 e^{2 x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 e^{2 x} d x$

Этап 13.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 3 \int e^{2 x} d x$

Этап 13.4

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 13.4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 13.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 13.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (x) = 3 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 13.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = 3 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 13.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 3 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 13.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$g (x) = \frac{3}{2} \int e^{u} d u$

Этап 13.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$g (x) = \frac{3}{2} (e^{u} + C)$

Этап 13.9

Упростим.

$g (x) = \frac{3}{2} e^{u} + C$

Этап 13.10

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$g (x) = \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} e^{2 x} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x}}{2} y^{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Этап 15.1.3

Объединим $\frac{x^{2} e^{2 x}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3}{2} e^{2 x} + C$

Этап 15.1.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = \frac{x^{2} e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + C$