Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{x + 3}$ , $y (- 1) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = x + 3$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = x + 3$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 3$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 3 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = \ln (| x + 3 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| x + 3 |) = C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| x + 3 |$ .

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| x + 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y - 1 | = e^{C} | x + 3 |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | x + 3 |$ .

$| y - 1 | = | x + 3 | e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm | x + 3 | e^{C}$

Этап 3.5.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | x + 3 | e^{C}$ .

$y - 1 = \pm e^{C} | x + 3 |$

Этап 3.5.4.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \pm e^{C} | x + 3 | + 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C | x + 3 | + 1$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | x + 3 | + 1$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $- 1$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = C | x + 3 | + 1$ .

$0 = C | - 1 + 3 | + 1$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C | - 1 + 3 | + 1 = 0$ .

$C | - 1 + 3 | + 1 = 0$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$C | 2 | + 1 = 0$

Этап 6.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$C \cdot 2 + 1 = 0$

Этап 6.2.3

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$2 C + 1 = 0$

Этап 6.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 C = - 1$

Этап 6.4

Разделим каждый член $2 C = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $2 C = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.4.2.1.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C = - \frac{1}{2}$

Этап 7

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $C$ в $y = C | x + 3 | + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- \frac{1}{2}$ вместо $C$ .

$y = - \frac{1}{2} | x + 3 | + 1$

Этап 7.2

Объединим $| x + 3 |$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + 1$

Этап 7.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- | x + 3 | + 2}{2}$