Математический анализ Примеры

$(1 + y) d x + (1 - x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + y) d x$ из обеих частей уравнения.

$(1 - x^{2}) d y = - (1 + y) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ в числитель.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $1 + y$ из $(1 - x^{2}) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} d x$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1^{2} - x^{2}} d x$

Этап 3.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 4.3.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Этап 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.1.2

Разделим $(A) (1 - x)$ на $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.3.2.1.6.5.2

Разделим $(B) (1 + x)$ на $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Этап 4.3.2.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Этап 4.3.2.1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Этап 4.3.2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Этап 4.3.2.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Этап 4.3.2.1.7.3

Перенесем $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Этап 4.3.2.1.7.4

Перенесем $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Этап 4.3.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Этап 4.3.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1

Упростим $- 1 (1 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3.3

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 4.3.2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3.4.2.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 4.3.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 4.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 4.3.2.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 4.3.2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Этап 4.3.2.5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Этап 4.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 4.3.5

Пусть $u_{2} = 1 + x$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Пусть $u_{2} = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 4.3.5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.3.5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 4.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Этап 4.3.8

Пусть $u_{3} = 1 - x$ . Тогда $d u_{3} = - d x$ , следовательно $- d u_{3} = d x$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Пусть $u_{3} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.3.8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Этап 4.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Этап 4.3.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Этап 4.3.11

Интеграл $\frac{1}{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Этап 4.3.12

Упростим.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Этап 4.3.13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.13.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Этап 4.3.13.2

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Этап 4.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.14.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Этап 4.3.14.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Этап 4.3.15

Изменим порядок членов.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Этап 5.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.3

Чтобы записать $\ln (| 1 + y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $\ln (| 1 + y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| 1 + y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| 1 + y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.6.1.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2} \frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.6.1.1.4

Объединим ${(1 + y)}^{2}$ и $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Этап 5.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Этап 5.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Применим правило умножения к $\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2} | 1 + x |)}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.6.1.4.2

Применим правило умножения к ${(1 + y)}^{2} | 1 + x |$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.6.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.6.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.6.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.6.1.6

Изменим порядок множителей в $\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 5.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Этап 5.8

Перепишем $\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Этап 5.9.2

Умножим обе части на ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Упростим $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1

Сократим общий множитель ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y) = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.3.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.3.1

Умножим ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.3.1.3.2

Изменим порядок множителей в ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.3.1.3.3

Изменим порядок $1$ и $x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.3.1.3.4

Изменим порядок $1$ и $x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.3.1.3.5

Изменим порядок ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ и $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.4.1

Вычтем ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.4.2

Разделим каждый член $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.4.2.1

Разделим каждый член $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.9.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.9.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.9.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.4.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$