Математический анализ Примеры

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ на $N$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ на $N$ .

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d N}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Этап 1.1.3.1.2

Разделим $t e^{t + 2}$ на $1$ .

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d N = t e^{t + 2} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = e^{t + 2}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u = t + 2$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = t + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $t + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $t + 2$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$