Математический анализ Примеры

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y) - 2 x y e^{y}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = \ln (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Этап 1.3.4

Объединим $y$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Этап 1.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Этап 1.3.6

Умножим $\ln (y)$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x y e^{y}$ по $y$ равна $- 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$

Этап 1.4.2

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \cdot 1)$

Этап 1.4.5

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y}) - 2 x e^{y}$

Этап 1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x y e^{y} - 2 x e^{y}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (1 - x y e^{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 - x y e^{y})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 - x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 - x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $1 - x y e^{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [- x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Поскольку $- y e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- x y e^{y}$ по $x$ равна $- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \cdot 1) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \cdot 1$

Этап 2.3.8

Умножим $1 - x y e^{y}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + 1 - x y e^{y}$

Этап 2.4

Вычтем $x y e^{y}$ из $x (- y e^{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x y e^{y} - x y e^{y} + 1$

Этап 2.4.2

Вычтем $x y e^{y}$ из $- 1 \cdot x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y e^{y} + 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 x y e^{y} + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 x y e^{y} + 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ вместо $M$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.3

Избавимся от скобок.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x y + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $- 2 x y e^{y}$ и $2 e^{y} x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Перенесем $e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.4.2

Добавим $- 2 x y e^{y}$ и $2 x y e^{y}$ .

$\frac{0 + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 e^{y} x + 0 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.2.7

Добавим $2 e^{y} x$ и $0$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (y)$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2 e^{y} x - \ln (y)$ и $\ln (y) - 2 x e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 e^{y} x$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (y)$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ в виде $- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ .

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Этап 4.3.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Этап 4.3.4.6

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Этап 4.3.4.7

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y}$

Этап 4.3.5

Подставим $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ вместо $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ на $\frac{1}{y}$ .

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) \frac{1}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (y)$ .

$\frac{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Этап 6.4.2

Разделим $\ln (y) - 2 x e^{y}$ на $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x (1 - x y e^{y})$ на $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x \cdot 1 + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $x$ на $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x (x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Перенесем $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - (x \cdot x) (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 6.10

Умножим $x - x^{2} y e^{y}$ на $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.11

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{2} y e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x^{1} - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.11.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Этап 6.11.3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} y e^{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 + x (- x y e^{y})}{y} d y = 0$

Этап 6.11.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x y e^{y})$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \ln (y) - 2 x e^{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \ln (y) - 2 x e^{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int \ln (y) d x + \int - 2 x e^{y} d x$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \ln (y) x + C + \int - 2 x e^{y} d x$

Этап 8.3

Поскольку $- 2 e^{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2 e^{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} \int x d x$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.5

Упростим.

$f (x, y) = \ln (y) x - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 2}{2} e^{y} x^{2} + C$

Этап 8.6.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Этап 8.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{y} x^{2} + C$

Этап 8.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{y} x^{2} + C$

Этап 8.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 1}{1} e^{y} x^{2} + C$

Этап 8.6.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\ln (y) x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.3.2

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.3.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Поскольку $- x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{y} x^{2}$ по $y$ равна $- x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.4.2

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 11.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $\frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} - \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Этап 12.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Этап 12.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x \cdot 1 - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Этап 12.1.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Этап 12.1.3.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - (x \cdot x) (- y e^{y})}{y} = 0$

Этап 12.1.3.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x^{2} (- y e^{y})}{y} = 0$

Этап 12.1.3.4

Умножим $- x^{2} (- y e^{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + 1 x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

Этап 12.1.3.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Этап 12.1.4

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{0 + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Этап 12.1.5

Добавим $0$ и $x^{2} y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Этап 12.1.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Этап 12.1.6.2

Разделим $x^{2} e^{y}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y} = 0$

Этап 12.1.7

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.7.1

Добавим $- x^{2} e^{y}$ и $x^{2} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Этап 12.1.7.2

Добавим $\frac{d g}{d y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Этап 15

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = x \ln (y) - x^{2} e^{y} + C$