Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (e^{x} + 1) y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((e^{x} + 1) y)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(e^{x} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x} + 1))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x} + 1))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x} + 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (e^{x} + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{x} + 1 d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} + 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} d x + \int d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2} + x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + x + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + e^{x} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = x + e^{x} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x + e^{x} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = x + e^{x} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + e^{x} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{x + e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{x + e^{x} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x + e^{x} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{x + e^{x} + C}$ в виде $e^{x + e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x + e^{x}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{x + e^{x}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x + e^{x}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{x + e^{x}}$