Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{3 x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 2 e^{3 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 2 e^{3 x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 2 e^{3 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int e^{3 x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{2}{3} e^{3 x} + K$