Математический анализ Примеры

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2} + x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.3

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Этап 2.5

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Этап 2.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Этап 2.6.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 3.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = y$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x y$ вместо $N$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

Этап 5.3.2

Вычтем $y$ из $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x y}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Этап 6.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | x | + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(x^{2} + y^{2} + x) d x + x y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $x^{2} + y^{2} + x$ на $x$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) x d x + x y d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} x + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{2} x^{1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Этап 7.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{2 + 1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Этап 7.3.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Этап 7.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $x y$ на $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y x d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x \cdot x y d y = 0$

Этап 7.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x^{2} y d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{2} y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $x^{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Этап 9.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 9.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 9.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Этап 9.3.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Этап 9.3.3

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.3.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.3.3

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.3.5

Объединим $2$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.3.6

Объединим $\frac{2 y^{2}}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.3.7.2

Разделим $y^{2} x$ на $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$

Этап 13.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вычтем $y^{2} x$ из $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2} + 0$

Этап 13.1.2.2

Добавим $x^{3} + x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$

Этап 14

Найдем первообразную $x^{3} + x^{2}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} + x^{2} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} + x^{2} d x$

Этап 14.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Этап 14.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x^{2} d x$

Этап 14.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 14.6

Упростим.

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 16.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 16.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Этап 16.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$