Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

Этап 1

Предположим, что все решения имеют вид $y = e^{r x}$ .

Этап 2

Найдем характеристическое уравнение для $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Этап 2.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Этап 2.4

Вынесем $e^{r x}$ за скобки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

Этап 2.5

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

Этап 3.4

Решим уравнение относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 3.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Этап 4

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$y_{1} = e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

Этап 5

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$y = c_{1} e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x} + c_{2} e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$