Математический анализ Примеры

$(x y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Этап 1.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Этап 1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 2.4

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Этап 2.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x = 2 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - x}{M}$

Этап 4.3

Подставим $x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x y$ вместо $M$ .

$\frac{2 x - x}{x y}$

Этап 4.3.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{x}{x y}$

Этап 4.3.3

Подставим $x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | y | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x y$ на $y$ .

$x y \cdot y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перенесем $y$ .

$x (y \cdot y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} + y^{2}$ на $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) y d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y^{1}) d y = 0$

Этап 6.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2 + 1}) d y = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{3}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = x y^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Этап 8.3.3

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.3.2

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.3.3

Поскольку $\frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ по $y$ равна $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.3.5

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.3.6

Объединим $\frac{2 x^{2}}{2}$ и $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.3.7.2

Разделим $x^{2} y$ на $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y^{3}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $x^{2} y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

Этап 13

Найдем первообразную $y^{3}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

Этап 13.3

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 15.2

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} + C$