Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = 6 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (6 t + 6 t^{2}) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 6 t + 6 t^{2} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 6 t + 6 t^{2} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 6 t d t + \int 6 t^{2} d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

Этап 2.3.4

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$y + C_{1} = 3 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Объединим $6$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 3 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = 3 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 3 t^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 2 t^{3} + 3 t^{2} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $t$ и $3$ вместо $y$ в $y = 2 t^{3} + 3 t^{2} + K$ .

$3 = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + K = 3$ .

$2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + K = 3$

Этап 4.2

Упростим $2 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 3 \cdot 1^{2} + K = 3$

Этап 4.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 + 3 \cdot 1 + K = 3$

Этап 4.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$2 + 3 + K = 3$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$5 + K = 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$K = 3 - 5$

Этап 4.3.2

Вычтем $5$ из $3$ .

$K = - 2$

Этап 5

Подставим $- 2$ вместо $K$ в $y = 2 t^{3} + 3 t^{2} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 2$ вместо $K$ .

$y = 2 t^{3} + 3 t^{2} - 2$