Математический анализ Примеры

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x y^{2} - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y^{2}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.3.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} y - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $3 x y - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.2

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y$ по $x$ равна $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Добавим $3 y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.6.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

Этап 3.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $3 x y - 4$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

Этап 3.4.8.2

Добавим $3 x y$ и $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.2

Объединим $x$ и $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.3

Объединим $\frac{x \cdot 6}{2}$ и $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.4

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.5

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.5.2.4

Разделим $3 x y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Этап 3.5.2.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

Этап 3.5.2.7

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Этап 3.5.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Этап 3.5.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

Этап 3.5.2.7.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x y - 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 x y - 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $3 x y - 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $2 x y - 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

Этап 5.3

Подставим $x y^{2} - y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x y^{2} - y$ вместо $M$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Этап 5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

Этап 5.3.2.4

Вычтем $2 x y$ из $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

Этап 5.3.2.5

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

Этап 5.3.2.6

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x y^{2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Этап 5.3.4

Подставим $x y^{2} - y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Этап 6.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | y | + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $x y^{2} - y$ на $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 7.3.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 7.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 7.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перенесем $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 7.4.2

Умножим $y$ на $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ на $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

Этап 7.6

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} y - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

Этап 7.6.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

Этап 7.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

Этап 7.7

Объединим $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ и $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

Этап 7.8

Изменим порядок множителей в $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $\frac{x}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{x}{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

Этап 9.2

Развернем $y (3 x y - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

Этап 9.2.2

Перенесем круглые скобки.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

Этап 9.2.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

Этап 9.2.4

Изменим порядок $y$ и $3$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

Этап 9.2.5

Изменим порядок $y$ и $- 4$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

Этап 9.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

Этап 9.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

Этап 9.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

Этап 9.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Этап 9.5

Поскольку $3 x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3 x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Этап 9.6

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Этап 9.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Этап 9.8

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

Этап 9.9

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Этап 9.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

Этап 9.11

Упростим.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Этап 9.12

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.2

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.3

По правилу суммы производная $x y^{3} - 2 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.4

Поскольку $y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $x y^{3}$ по $x$ равна $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.6

Поскольку $- 2 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.9

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.10

Добавим $y^{3}$ и $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.11

Объединим $\frac{x}{2}$ и $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.12

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.13

Чтобы записать $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.14

Объединим $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.16

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.17

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.17.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.17.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.18

Умножим $x y^{3} - 2 y^{2}$ на $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.3.19

Добавим $x y^{3}$ и $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.1

Чтобы записать $\frac{d g}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.2

Объединим $\frac{d g}{d x}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.4

Перенесем $2$ влево от $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5

Сократим общий множитель $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y^{3}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.1.5.6.4

Разделим $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ на $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Этап 12.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

Этап 13.1.2

Вычтем $y^{3} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

Этап 13.1.3

Объединим противоположные члены в $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Добавим $- y^{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

Этап 13.1.3.2

Добавим $x y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

Этап 13.1.3.3

Изменим порядок множителей в членах $x y^{3}$ и $- y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

Этап 13.1.3.4

Вычтем $y^{3} x$ из $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 14

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 14.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 14.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Этап 16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Этап 16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Этап 16.3

Умножим $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Объединим $x$ и $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Этап 16.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Этап 16.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Этап 16.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Этап 16.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Этап 16.3.6

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Этап 16.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Этап 16.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

Этап 16.5.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Этап 16.5.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$