Математический анализ Примеры

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ на $1 + \cos (2 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ на $1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $1 + \cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $1 + \cos (u_{1})$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Этап 2.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Этап 2.3.5.3

Умножим $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Этап 2.3.6

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (x)$ в $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.7

Используем формулу Пифагора для преобразования $1$ в $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Вычтем ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ из ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Этап 2.3.8.2

Добавим ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ и ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Этап 2.3.8.3

Добавим $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ и $0$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.9

Умножить аргумент на $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.10

Объединим.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.11

Умножим ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.12

Выразим $\sec (\frac{u}{2})$ через синусы и косинусы.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Этап 2.3.13

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Этап 2.3.14

Единица в любой степени равна единице.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Этап 2.3.15

Умножим $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.1

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.15.2

Объединим $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ и $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Этап 2.3.16

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.17

Выразим $\sec (\frac{u}{2})$ через синусы и косинусы.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.18

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.19

Объединим.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Этап 2.3.20

Сократим общий множитель $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.20.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Этап 2.3.20.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.21

Единица в любой степени равна единице.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.22

Умножим на $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Этап 2.3.23

Разделим дроби.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Этап 2.3.24

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ в $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Этап 2.3.25

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.25.1

Умножим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Этап 2.3.25.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Этап 2.3.26

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Этап 2.3.27

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , следовательно $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.27.1

Пусть $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.27.1.1

Дифференцируем $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Этап 2.3.27.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $\frac{u_{1}}{2}$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 2.3.27.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 2.3.27.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 2.3.27.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.28.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Этап 2.3.28.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

Этап 2.3.28.3

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.29

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 2.3.30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.30.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.30.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.30.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.30.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.30.3

Умножим $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 2.3.31

Поскольку производная $\tan (u_{2})$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ , интеграл $\sec^{2} (u_{2})$ равен $\tan (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.32

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.32.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{u_{1}}{2}$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.32.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.33

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.33.1

Сократим выражение $\frac{2 x}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.33.1.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Этап 2.3.33.1.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

Этап 2.3.33.2

Разделим $x$ на $1$ .

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \tan (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $\frac{π}{4}$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \tan (x) + K$ .

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$1 + K = 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = 1 - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$K = 0$

Этап 5

Подставим $0$ вместо $K$ в $y = \tan (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $0$ вместо $K$ .

$y = \tan (x) + 0$

Этап 5.2

Добавим $\tan (x)$ и $0$ .

$y = \tan (x)$