Математический анализ Примеры

$(y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21) d x + (5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4 x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $- 4 x^{3} y^{4}$ по $y$ равна $- 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 10 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 10 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 10 x y$ по $y$ равна $- 10 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d y} [- 21]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $- 21$ является константой относительно $y$ , производная $- 21$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5 y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $5 x y^{4}$ по $x$ равна $5 y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 4 y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{4} y^{3}$ по $x$ равна $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 x y$ по $x$ равна $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.6.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d x} [42]$

Этап 2.7

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + 0$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$

Этап 2.8.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21 d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int y^{5} d x + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{5} x + C + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Этап 5.3

Поскольку $- 4 y^{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4 y^{4}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} \int x^{3} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Этап 5.5

Поскольку $- 10 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 10 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y \int x d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Этап 5.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Этап 5.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Этап 5.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Этап 5.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C - 21 x + C$

Этап 5.10

Упростим.

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{5} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y^{5} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x (5 y^{4}) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.3.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$5 x y^{4} + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Поскольку $- x^{4}$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{4} x^{4}$ по $y$ равна $- x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$5 x y^{4} - x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 x y^{4} - x^{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Поскольку $- 5 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- 5 y x^{2}$ по $y$ равна $- 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.5.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.6

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y^{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{2} x$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.6.3

Умножим $2$ на $2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.7

Поскольку $- 21 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 21 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.8

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.9.1

Добавим $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y$ и $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 8.9.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - 5 x^{2} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $5 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2}$

Этап 9.1.2

Вычтем $5 y^{4} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x$

Этап 9.1.3

Добавим $4 x^{4} y^{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3}$

Этап 9.1.4

Вычтем $4 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Этап 9.1.5

Объединим противоположные члены в $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Добавим $- 5 x^{2}$ и $5 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Этап 9.1.5.2

Добавим $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Этап 9.1.5.3

Изменим порядок множителей в членах $5 x y^{4}$ и $- 5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Этап 9.1.5.4

Вычтем $5 y^{4} x$ из $5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Этап 9.1.5.5

Добавим $- 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Этап 9.1.5.6

Добавим $- 4 x^{4} y^{3}$ и $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 + 0 - 4 x y$

Этап 9.1.5.7

Добавим $4 x y + 42$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 - 4 x y$

Этап 9.1.5.8

Вычтем $4 x y$ из $4 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 42$

Этап 9.1.5.9

Добавим $0$ и $42$ .

$\frac{d g}{d y} = 42$

Этап 10

Найдем первообразную $42$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 42$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 42 d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 42 d y$

Этап 10.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = 42 y + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + 42 y + C$