Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = \ln (t) + 4 t$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = (\ln (t) + 4 t) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int \ln (t) + 4 t d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int \ln (t) + 4 t d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$s + C_{1} = \int \ln (t) d t + \int 4 t d t$

Этап 2.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (t)$ и $d v = 1$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t + \int 4 t d t$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{t}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t + \int 4 t d t$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t + \int 4 t d t$

Этап 2.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int d t + \int 4 t d t$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + \int 4 t d t$

Этап 2.3.5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + 4 \int t d t$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{4}{2} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2}{1} t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + 2 t^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$s + C_{1} = 2 t^{2} + t \ln (t) - t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = 2 t^{2} + t \ln (t) - t + K$