Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{4 - x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = e^{4 - x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int e^{4 - x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int e^{4 - x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 4 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 4 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 2.3.1.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x$ .

$y + C_{1} = - e^{4 - x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - e^{4 - x} + K$