Математический анализ Примеры

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 (2 y) + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.7

Поскольку $5 x$ является константой относительно $y$ , производная $5 x y$ по $y$ равна $5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.9

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.12

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + \frac{d}{d y} [4])$

Этап 1.13

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + 0)$

Этап 1.14

Добавим $4 y + 5 x - 2$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2)$

Этап 1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Этап 1.15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Этап 1.15.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x + 2 \cdot - 2$

Этап 1.15.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x - 4$

Этап 1.15.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 10 x + 8 y - 4$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x (2 x + 2 y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 x + 2 y - 1)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [2 x + 2 y - 1] + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $2 x + 2 y - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 2 + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.8.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot x + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + (2 x + 2 y - 1) \cdot 1$

Этап 2.3.10

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.10.1

Умножим $2 x + 2 y - 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 x + 2 y - 1$

Этап 2.3.10.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 y - 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $10 x + 8 y - 4$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $4 x + 2 y - 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $10 x + 8 y - 4$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $4 x + 2 y - 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x (2 x + 2 y - 1)$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x (2 x + 2 y - 1)$ вместо $N$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x) - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.3

Вычтем $4 x$ из $10 x$ .

$\frac{6 x + 8 y - 4 - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $2 y$ из $8 y$ .

$\frac{6 x + 6 y - 4 + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.5

Добавим $- 4$ и $1$ .

$\frac{6 x + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.6

Вынесем множитель $3$ из $6 x + 6 y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$\frac{3 (2 x) + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.6.2

Вынесем множитель $3$ из $6 y$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.6.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.6.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x) + 3 (2 y)$ .

$\frac{3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.2.6.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $2 x + 2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ на $x^{3}$ .

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (2 y^{2}) + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 y^{2} + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.3.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 8) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x y x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.5.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{3 + 1} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.5.3

Добавим $3$ и $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x (2 x + 2 y - 1)$ на $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) x^{3} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.7.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x^{1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3 + 1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.7.3

Добавим $3$ и $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{4} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Этап 6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Этап 6.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Этап 6.9.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Этап 6.9.3

Перенесем $- 1$ влево от $x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Этап 6.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.1

Перенесем $x$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x \cdot x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Этап 6.10.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x^{1} x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Этап 6.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{1 + 4} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Этап 6.10.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Этап 6.10.2

Перепишем $- 1 x^{4}$ в виде $- x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x^{5} d y + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Этап 8.3

Поскольку $2 x^{4}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2 x^{4}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} \int y d y + \int - x^{4} d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{4} d y$

Этап 8.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{4} y + C$

Этап 8.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{4} y + C$

Этап 8.7

Упростим.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{5} y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$2 y (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.3.3

Умножим $5$ на $2$ .

$10 y x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $x^{4} y^{2}$ по $x$ равна $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$10 y x^{4} + y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.4.3

Перенесем $4$ влево от $y^{2}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4} y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.6

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 11.7

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 10 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $10 x^{4} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y$

Этап 12.1.2

Вычтем $4 x^{3} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2}$

Этап 12.1.3

Добавим $4 x^{3} y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Этап 12.1.4

Объединим противоположные члены в $4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Вычтем $10 x^{4} y$ из $10 x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Этап 12.1.4.2

Добавим $4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Этап 12.1.4.3

Изменим порядок множителей в членах $4 y^{2} x^{3}$ и $- 4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Этап 12.1.4.4

Вычтем $4 x^{3} y^{2}$ из $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 + 4 x^{3} y$

Этап 12.1.4.5

Добавим $- 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Этап 12.1.4.6

Изменим порядок множителей в членах $- 4 y x^{3}$ и $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x^{3} y + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Этап 12.1.4.7

Добавим $- 4 x^{3} y$ и $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3} + 0$

Этап 12.1.4.8

Добавим $8 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$

Этап 13

Найдем первообразную $8 x^{3}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 8 x^{3} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 8 x^{3} d x$

Этап 13.3

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 8 \int x^{3} d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ в виде $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{8}{4} x^{4} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C$

Этап 13.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C$

Этап 13.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{4} + C$

Этап 13.5.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$g (x) = 2 x^{4} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + 2 x^{4} + C$