Математический анализ Примеры

$(x + \frac{2}{y}) d y + y d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + \frac{2}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Этап 3.4

Поскольку $\frac{2}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Этап 4.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$1 = 1$ является тождеством.

Этап 5

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Этап 6

Проинтегрируем $M (x, y) = y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y x + C$

Этап 7

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Этап 8

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

Этап 9

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Этап 9.2

По правилу суммы производная $y x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Этап 9.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Этап 9.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

Этап 9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

Этап 10

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

Этап 10.1.2

Объединим противоположные члены в $x + \frac{2}{y} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

Этап 10.1.2.2

Добавим $\frac{2}{y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Этап 11

Найдем первообразную $\frac{2}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Этап 11.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Этап 11.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Этап 11.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Этап 11.5

Упростим.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Этап 12

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Этап 13.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$